Автор: misha

Пусть все попарные расстояния между рыцарями после пересадки изменились, обозначим число рыцарей — . Будем считать, что каждый рыцарь не бросается к окну, а просто проходит вокруг стола против часовой стрелки и садится на кресло, считая от своего. Легко видеть, что все числа разные и принимают значения от до .

Попросим теперь рыцарей пересаживаться по одному. То есть, первый рыцарь встаёт и садится на кресло, считая от своего, выгоняя того, кто там сидел. Тот, в свою очередь идёт дальше и т.д. Этот процесс может кончиться только тогда, когда кто-нибудь сядет в пустое кресло первого, завершив цикл. Сумма всех в цикле будет делитьса на . Всё перемещение рыцарей сведётся к некоторому числу таких циклов и, значит, общая сумма всех должна делиться на . С другой стороны она равна . Значит — число целое, а — нечётное.

Начнём надувать мыльный пузырь в виде шара, который касается плоскости основания пирамиды в точке, где вырос гриб. Этот растущий шар рано или поздно коснётся изнутри одной из боковых граней пирамиды. Легко видеть, что точка касания накроет гриб, когда боковая грань упадет вниз.

Нарисуем на шаре циркулем произвольную окружность с центром в точке . Меньшим раствором циркуля нарисуем другую окружность с центром , на окружности . И с таким же радиусом третью окружность с центром в точке пересечения двух первых окружностей.

Легко видеть, что точки , и лежат на окружности большого круга шара. Померяем циркулем попарно расстояния между ними и нарисуем на бумаге треугольник с такими сторонами. Окружность, описанная около этого треугольника будет иметь радиус равный радиусу шара.