Поднятие веревки

Есть такая детская задачка: земной шар плотно плотно обвязали веревкой прямо по экватору. Потом в эту веревку в каком-то месте вставили еще метр и равномерно подняли над землей. Спрашивается, проползет ли теперь под веревкой муравей?

Решение

Ответ по началу кажется невероятным. Оказывается, веревка поднимется по всей длине земного экватора на целых $1m / 2\pi \approx 16cm$ .

А недавно мой племянник-математик подсказал новую вариацию на ту же тему: если отказаться от равномерного поднятия веревки надо всем экватором, а поднимать только в одном месте, в Африке, то сколько веревки надо вставить, чтобы там пролез слон?

Решение

Здесь уже без калькулятора не обойтись, но ответ тоже поразителен:

Если радиус Земли $R = 6 400 000m$ , а поднять мы хотим, скажем, на высоту $h = 10m$ (высота африканского слона не превышает пяти метров), то получится:

Длина касательной $s = \sqrt{\left(R+h\right)^{2}-R^{2}} \approx 11 313.713 m \approx 11.3km$

Угол между радиусами к точке касания и к точке поднятия $\alpha = \arctan \left(s/R\right) \approx 0.0017677658$

Длина куска веревки, который нужно вставить: $x = 2\left(s - R \alpha\right) \approx 0.023570209m \approx 2.4cm$