Точки пересечения

Сколько точек пересечения у графиков функций $y = a^x$ и $y = log_a{x}$ ?

Решение

Казалось бы ответ очевиден, при $a > 1$ могут быть две, или одна точка касания, или ни одной.

А вот когда $0 < a < 1$ ?

Тут уже не все так просто. На первый взгляд, графики всегда пересекаются ровно в одной точке.

Rendered by QuickLaTeX.com

Но давайте возьмем, например $a = 1/16$ , $x = 1/2$

${1/16}^{1/2} = 1/4$
$log_{1/16}{1/2} = 1/4$

Вот одна точка пересечения. Ну, а если взять $a = 1/16$ , $x = 1/4$

${1/16}^{1/4} = 1/2$
$log_{1/16}{1/4} = 1/2$

А вот и другая — что-то здесь не так. Оказывается при достаточно маленьких $a$ графики пересекаются в трех точках!

Rendered by QuickLaTeX.com